Medidas estrictas no lineales de distancia y similitud para conjuntos difusos intuicionistas con aplicaciones a la clasificación de patrones y al diagnóstico médico.

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 13918 (2023) Citar este artículo

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En este artículo, proponemos un nuevo tipo de medidas de distancia y similitud estrictas no lineales para conjuntos difusos intuicionistas (IFS). Nuestros métodos propuestos no solo tienen buenas propiedades, sino que también mejoran los inconvenientes propuestos por Mahanta y Panda (Int J Intell Syst 36(2):615–627, 2021) en los que, por ejemplo, su valor de distancia de \(d_{_) {\textrm{MP}}}(\langle \mu , \nu \rangle , \langle 0, 0\rangle )\) siempre es igual al valor máximo 1 para cualquier número intuicionista difuso \(\langle \mu , \ nu \rangle \ne \langle 0, 0\rangle \). Para resolver estos problemas en Mahanta y Panda (Int J Intell Syst 36(2):615–627, 2021), establecemos una medida de distancia paramétrica no lineal para IFS y demostramos que satisface la definición axiomática de distancias difusas intuicionistas estrictas y preserva todas Ventajas de las medidas de distancia. En particular, nuestra medida de distancia propuesta puede distinguir efectivamente diferentes IFS con alta vacilación. Mientras tanto, obtenemos que la medida de similitud dual y la entropía inducida de nuestra medida de distancia propuesta satisfacen las definiciones axiomáticas de medida de similitud difusa intuicionista estricta y entropía difusa intuicionista. Finalmente, aplicamos nuestras medidas de distancia y similitud propuestas a la clasificación de patrones, la toma de decisiones sobre la elección de una mascarilla antivirus adecuada para COVID-19 y los problemas de diagnóstico médico, para ilustrar la efectividad de los nuevos métodos.

Zadeh1 introdujo el concepto de conjuntos difusos (FS) utilizando una función del universo del discurso a [0, 1], que se denominó función de membresía, para describir la importancia de un elemento en el universo del discurso. La teoría de conjuntos difusos de Zadeh se ha aplicado en diferentes áreas2,3,4. Sin embargo, los FS sólo pueden abordar la situación que contiene dos respuestas opuestas. No logra abordar la situación con el estado vacilante/neutral de “esto y también aquello”. Como remedio, Atanassov5 generalizó el conjunto difuso de Zadeh proponiendo el concepto de conjuntos difusos intuicionistas (IFS), caracterizados por una función de pertenencia y una función de no pertenencia que cumplen la condición de que su suma en cada punto sea menor o igual a 1. Dado que luego, los IFS se han aplicado ampliamente en diversos campos, como la toma de decisiones de atributos múltiples (MADM)6,7,8,9,10,11, el diagnóstico médico12,13,14,15, la similitud con el reconocimiento de patrones16,17,18, 19, y análisis de conglomerados16,20,21,22.

Al ser un par de conceptos duales, la medida de distancia intuicionista difusa (IF) (IFDisM) y la medida de similitud IF (IFSimM) son útiles para medir las diferencias de IFS en situaciones IF. Las definiciones axiomáticas de IFDisM e IFSimM fueron dadas por primera vez por Wang y Xin23. Szmidt24 consideró los IFDisM y los IFSimM y los dividió en dos tipos de IFS según sus representaciones bidimensionales (2D) y tridimensionales (3D). Sin embargo, Wu et al.25 utilizaron algunos ejemplos para mostrar que muchos IFDisM e IFSimM 3D existentes, incluidos Euclidean DisM y SimM24, Minkowski DisM y SimM26,27, no satisfacen las definiciones axiomáticas de IFDisM e IFSimM. Burillo y Bustince28 presentaron el IFDisM Hamming 2D. Grzegorzewski29 y Hung y Yang30 presentaron algunos IFSimM e IFDisM nuevos basados ​​en la métrica de Hausdorff. Wang y Xin23 obtuvieron un nuevo IFDisM combinando el 2D Hamming IFDisM28 y el 2D Hausdorff IFDisM29. Hwang y Yang31 introdujeron un nuevo IFSimM mediante conjuntos difusos inferior, superior y medio. Xiao32 obtuvo un IFDisM 3D basado en la divergencia de Jensen-Shannon e ilustró que es mejor que los IFDisM en33,34,35,36. Sin embargo, Wu et al.37 mostraron algunos ejemplos para ilustrar que el DisM de Xiao no satisface la definición axiomática de IFDisM. Mientras tanto, Wu et al.37 introdujeron por primera vez los conceptos de IFDisM estricto y luego obtuvieron un nuevo IFDisM estricto a través de la divergencia de Jensen-Shannon para comparar y distinguir de manera más efectiva los IFN y los IFS.

Para distinguir con precisión diferentes IFS con altos grados de indeterminación, Mahanta y Panda38 desarrollaron un nuevo IFDisM 2D no lineal. Sin embargo, su DisM \(d_{_{\textrm{MP}}}\) tiene los siguientes dos inconvenientes: (1) el valor de \(d_{\textrm{MP}}}(\langle \mu , \nu \rangle , \langle 0, 0\rangle )\) siempre es igual al valor máximo 1 para cualquier IFN \(\langle \mu , \nu \rangle \ne \langle 0, 0\rangle \); (2) \(d_{_{\textrm{MP}}}(\langle \mu , 0\rangle , \langle 0, \nu \rangle )=1\) se cumple para todos \(\mu , \nu \ en (0, 1]\). Estos son resultados poco razonables. Para superar los dos inconvenientes anteriores, construimos un IFDisM paramétrico no lineal y demostramos que es un IFDisM estricto, que preserva todas las ventajas del DisM38 de Mahanta y Panda. Además, demostramos que el SimM dual y la entropía inducida de nuestro IFDisM propuesto satisfacen las definiciones axiomáticas de IFSimM y entropía IF. Además, aplicamos el IFDisM y el IFSimM propuestos para la clasificación de patrones y la toma de decisiones para la elección de una mascarilla antivirus adecuada para COVID-19. y diagnóstico médico, para ilustrar la eficacia de los nuevos métodos.

(39Definición 1.1) Un conjunto difuso intuicionista (IFS) I en \(\Xi \) se define como un objeto de la siguiente forma

donde las funciones \(\mu _{_{I}}: \Xi \rightarrow [0,1]\) y \(\nu _{I}}: \Xi \rightarrow [0,1]\) son el grado de pertenencia y el grado de no pertenencia de un elemento \(\vartheta \in \Xi \) al conjunto I, respectivamente; y para cualquier \(\vartheta \in \Xi \),

Sea \(\textrm{IFS}(\Xi )\) el conjunto de todos los IFS en \(\Xi\). Para \(I\in \textrm{IFS}(\Xi )\), el grado de indeterminación \(\pi _{I}}(\vartheta )\) de un elemento \(\vartheta \) perteneciente a I se define por \(\pi _{_I}(\vartheta )=1-\mu _{_I}(\vartheta )-\nu _{_I}(\vartheta )\). El par \(\langle \mu _{_I}(\vartheta ), \nu _{_I}(\vartheta )\rangle \) se denomina valor intuicionista difuso (IFV) o número intuicionista difuso (IFN) por Xu1 . . . . Por conveniencia, usamos \(\alpha =\langle \mu _{\alpha }, \nu _{\alpha }\rangle \) para representar un IFN \(\alpha\), que satisface \(\mu _{ \alpha }\in [0, 1]\), \(\nu _{\alpha }\in [0, 1]\), y \(0\le \mu _{\alpha }+\nu _{ \alpha }\y 1\). Sea \(\Theta \) el conjunto de todos los IFN, es decir, \(\Theta =\{\rangle \mu , \nu \rangle \in [0, 1]^{2} \mid \mu +\nu \y 1\}\). Para \(\alpha =\range \mu _{\alpha }, \nu _{\alpha }\range \in \Theta\), el complemento \(\alpha ^{\complement }\) de \(\alpha \) es \(\alpha ^{\complement }=\rangle \nu _{\alpha }, \mu _{\alpha }\rangle\).

El orden de Atanassov '\(\subset \)'39, definido por la condición de que \(\alpha \subset \beta \) si y sólo si \(\alpha \cap \beta =\alpha \), es un orden parcial en \(\Theta\). Claramente, \(\alpha \subset \beta \) si y sólo si \(\mu _{\alpha }\le \mu _{\beta }\) y \(\nu _{\alpha }\ge \nu _{\beta}\). El orden '\(\subsetneqq \)' en \(\Theta \) está definido por la condición de que \(\alpha \subsetneqq \beta \) si y sólo si \(\alpha \subset \beta \) y \( \alpha \ne \beta \).

10,26 Un mapeo \(\textbf{S}: \Theta \times \Theta \longrightarrow [0, 1]\) se denomina medida de similitud difusa intuicionista (IFSimM) en \(\Theta \) si satisface las siguientes condiciones : para cualquier \(\alpha _1\), \(\alpha _2\), \(\alpha _3\in \Theta \),

\(0\y \textbf{S}(\alpha _1, \alpha _2)\y 1\).

\(\textbf{S}(\alpha _1, \alpha _2)=1\) si y sólo si \(\alpha _1=\alpha _2\).

\(\textbf{S}(\alpha _1, \alpha _2)=\textbf{S}(\alpha _2, \alpha _1)\).

Si \(\alpha _1\subset \alpha _2\subset \alpha _3\), entonces \(\textbf{S}(\alpha _1, \alpha _3)\le \textbf{S}(\alpha _1, \alpha _2)\) y \(\textbf{S}(\alpha _1, \alpha _3) \le \textbf{S}(\alpha _2, \alpha _3)\).

10,26 Un mapeo \(\textbf{S}: \textrm{IFS}(\Xi )\times \textrm{IFS}(\Xi ) \longrightarrow [0, 1]\) se llama IFSimM en \(\textrm {IFS}(\Xi )\) si satisface las siguientes condiciones: para cualquier \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\in \textrm{IFS}(\Xi )\),

\(0\y \textbf{S}(I_1, I_2)\y 1\).

\(\textbf{S}(I_1, I_2)=1\) si y sólo si \(I_1=I_2\).

\(\textbf{S}(I_1, I_2)=\textbf{S}(I_2, I_1)\).

Si \(I_1\subconjunto I_2\subconjunto I_3\), entonces \(\textbf{S}(I_1, I_3)\le \textbf{S}(I_1, I_2)\) y \(\textbf{S}(I_1 , I_3)\) \(\le \textbf{S}(I_2, I_3)\).

Para comparar y distinguir de manera más efectiva los IFN y los IFS, Wu et al.37 introdujeron el concepto de medidas intuicionistas estrictas de similitud/distancia difusa de la siguiente manera.

37Un mapeo \(\textbf{S}: \Theta \times \Theta \longrightarrow [0, 1]\) se llama IFSimM estricto en \(\Theta \) si, para cualquier \(\alpha _1\), \ (\alpha _2\), \(\alpha _3\in \Theta \), satisface (Sl)–(S3) en la Definición 2.2 y (S4\(^{\prime }\)) y (S5) descritos por

(S4\(^{\prime }\)) (Distintividad estricta) Si \(\alpha _1\subsetneqq \alpha _2\subsetneqq \alpha _3\), entonces \(\textbf{S}(\alpha _1, \alpha _3)< \textbf{S}(\alpha _1, \alpha _2)\) y \(\textbf{S}(\alpha _1, \alpha _3) < \textbf{S}(\alpha _2, \alpha _3 )\).

(Extrema disimilitud en los puntos finales) \(\textbf{S}(\alpha _1, \alpha _2)=0\) si y sólo si (\(\alpha _1=\langle 0, 1\rangle \) y \(\ alpha _2=\langle 1, 0 \rangle \)) o (\(\alpha _1=\langle 1, 0\rangle \) y \(\alpha _2=\langle 0, 1 \rangle \)).

Como lo señalaron Wu et al.37, (1) La propiedad (S4\(^{\prime }\)) indica que la medida de similitud \(\textbf{S}\) puede distinguir estrictamente cada par de IFV diferentes bajo el Orden de Atanassov '\(\subset \)'; (2) La propiedad (S5) indica que es extremadamente diferente (la medida de similitud es cero) para un par de IFV que dependen solo de dos criterios de valoración.

37Un mapeo \(\textbf{S}: \textrm{IFS}(\Xi )\times \textrm{IFS}(\Xi ) \longrightarrow [0, 1]\) se llama IFSimM estricto en \(\textrm{ IFS}(\Xi )\) si, para cualquier \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\in \textrm{IFS}(\Xi )\), satisface (Sl)–(S3) en la Definición 2.3 y (S4\(^{\prime }\)) y (S5) descritos por

Si \(I_1\subsetneqq I_2\subsetneqq I_3\), entonces \(\textbf{S}(I_1, I_3)< \textbf{S}(I_1, I_2)\) y \(\textbf{S}(I_1, I_3)\) \(< \textbf{S}(I_2, I_3)\).

\(\textbf{S}(I_1, I_2)=0\) si y sólo si, para cualquier \(\vartheta \in \Xi \), (\(I_1(\vartheta )=\langle 0, 1\rangle \) y \(I_2(\vartheta )=\langle 1, 0 \rangle \)) o (\(I_1(\vartheta )=\langle 1, 0\rangle \) y \(I_2(\vartheta )=\ idioma 0, 1 \rangle \)).

La propiedad (S5) se puede expresar de manera equivalente como \(\textbf{S}(I_1, I_2)=0\) si y sólo si \(I_1\) es un conjunto nítido y \(I_{1}=I_{2) }^{\complemento }\).

De manera dual, un mapeo \(d: \textrm{IFS}(\Xi )\times \textrm{IFS}(\Xi ) \longrightarrow [0, 1]\) se llama IFDisM estricto en \(\textrm{IFS} (\Xi )\) si el mapeo \(\textbf{S}(I_1, I_2)=1-d(I_1, I_2)\) es un IFSimM estricto en \(\textrm{IFS}(\Xi )\) .

La entropía es una medida de información importante. Szmidt y Kacprzyk15 dieron las definiciones axiomáticas de medidas de entropía para IFS de la siguiente manera:

15Un mapeo \(E: \Theta \longrightarrow [0, 1]\) se denomina medida intuicionista de entropía difusa (IFEM) en \(\Theta \) si satisface las siguientes condiciones: para cualquier \(\alpha \), \(\beta \en \Theta \),

\(E(\alpha )=0\) si y sólo si \(\alpha =\langle 1, 0\rangle \) o \(\alpha =\langle 0, 1\rangle \).

\(E(\alpha )=1\) si y sólo si \(\mu _{\alpha }=\nu _{\alpha }\).

\(E(\alpha )=E(\alpha ^{\complemento })\).

\(E(\alpha )\and E(\beta )\) siempre que se cumpla \(\mu _{\alpha }\and \mu _{\beta } \and \nu _{\beta } \and \ nu _{\alpha }\) o \(\mu _{\alpha }\ge \mu _{\beta } \ge \nu _{\beta } \ge \nu _{\alpha }\).

15Un mapeo \(E: \textrm{IFS}(\Xi )\longrightarrow [0, 1]\) se denomina IFEM en \(\textrm{IFS}(\Xi )\) si satisface las siguientes condiciones: para cualquier \(I_1\), \(I_2 \in \textrm{IFS}(\Xi )\),

\(E(I_1)=0\) si y solo si \(I_1\) es un conjunto nítido.

\(E(I_1)=1\) si y sólo si, para cualquier \(\vartheta \in \Xi \), \(\mu _{I_1}(\vartheta )=\nu _{I_1}(\vartheta )\).

\(E(I_1)=E(I_1^{\complemento })\).

\(E(I_1)\y E(I_2)\) si, para cualquier \(\vartheta \in \Xi \), se cumple \(\mu _{I_1}(\vartheta )\y \mu _{ I_2}(\vartheta )\y \nu _{I_2}(\vartheta ) \y \nu _{I_1}(\vartheta )\) o \(\mu _{I_1}(\vartheta )\ge \mu _ {I_2}(\vartheta )\ge \nu _{I_2}(\vartheta ) \ge \nu _{I_1}(\vartheta )\).

Después de investigar la medida de distancia para los IFS propuesta por Mahanta y Panda38, encontramos que la distancia de Mahanta y Panda38 presentaba serios inconvenientes. Presentamos estos inconvenientes en la siguiente subsección.

Sea \(\Xi =\{\vartheta _1, \vartheta _2, \ldots , \vartheta _{\ell }\}\) una UOD finita y \(I_1=\Big \{\frac{\langle \mu _{I_1}(\vartheta _{j}), \nu _{I_1}(\vartheta _{j})\rangle }{\vartheta _j} \mid 1\le j\le \ell \Big \}\ ) y \(I_2= \Big \{\frac{\langle \mu _{I_2}(\vartheta _{j}), \nu _{I_2}(\vartheta _{j})\rangle }{\vartheta _j} \mid 1\le j\le \ell \Big \}\) sean dos IFS en \(\Xi \). Para distinguir eficazmente los IFS con altos grados de vacilación, Mahanta y Panda38 introdujeron recientemente un IFDisM \(d_{\textrm{MP}}}\) 2D de la siguiente manera:

Esta subsección utiliza dos ejemplos para mostrar que su IFDisM \(d_{_{\textrm{MP}}}\)38 tiene los siguientes dos inconvenientes: (1) la distancia desde todos los IFV excepto \(\langle 0, 0 \rangle \) a \(\langle 0, 0 \rangle \) obtenido por la fórmula de distancia \(d_{\textrm{MP}}}\) es igual al valor máximo 1, es decir, \(d_{_{\textrm{MP}}}\) \textrm{MP}}} (\langle 0, 0\rangle , \alpha )=1\) se cumple para todos \(\alpha \in \Theta \backslash \{\langle 0, 0\rangle \}\); (2) \(d_{_{\textrm{MP}}}(\langle \mu , 0\rangle , \langle 0, \nu \rangle )=1\) se cumple para todos \(\mu , \nu \ en (0, 1]\) Estos son resultados irrazonables.

Sean \(\Xi =\{\vartheta \}\) y \(I_1=\left\{ \frac{\langle 0, 0\rangle }{\vartheta }\right\} \in \textrm{IFS}( \Xi )\). Para cualquier \(I_2=\left\{ \frac{\langle \mu , \nu \rangle }{\vartheta }\right\} \in \textrm{IFS}(\Xi )\) con \(I_2\ne I_1\), por cálculo directo y la Ec. (3), tenemos \(d_{_{\textrm{MP}}}(I_1, I_2)= \frac{|\mu -0|+|\nu -0|}{\mu +0+\nu +0}=1\). Obviamente, este es un resultado irrazonable, ya que todos los puntos excepto \(\left\{ \frac{\langle 0, 0 \rangle }{\vartheta }\right\} \) a \(\left\{ \frac{\langle 0, 0 \rangle }{\vartheta }\right\} \) es igual al valor máximo 1.

Sea \(\Xi =\{\vartheta \}\), \(I_1^{\prime }=\left\{ \frac{\langle \mu , 0\rangle }{\vartheta }\right\} \in \textrm{IFS}(\Xi )\), y \(I_2^{\prime }=\left\{ \frac{\langle 0, \nu \rangle }{\vartheta }\right\} \in \textrm {IFS}(\Xi )\). Por cálculo directo y la ecuación. (3), tenemos que, para \(0<\mu , \nu \le 1\), \(d_{_{\textrm{MP}}}(I_1^{\prime }, I_2^{\prime })=\frac{|\mu -0|+|0-\nu |}{\mu +0+0+\nu }=1\), que tampoco es un resultado razonable.

Para superar los inconvenientes de la medida de distancia de Mahanta y Panda mencionada anteriormente, proponemos una nueva medida de distancia estricta no lineal para IFN e IFS en la siguiente subsección, que se demuestra que satisface la definición axiomática de IFDisM.

Definimos una nueva distancia paramétrica en \(\Theta\) definiendo la función \(d_{\textrm{pd}}^{(\lambda )}: \Theta\times\Theta\longrightarrow\mathbb{R}^{ +}\) de la siguiente manera: para \(\alpha =\range \mu _{\alpha }, \nu _{\alpha }\rangle \) y \(\beta = \range \mu _{\beta }, \nu_{\beta}\rangle\en\Theta\),

Sea \(\lambda >0\). Para \(0\le x\le y\le 2\), se cumplen las siguientes afirmaciones:

\(\frac{x}{y+\lambda }\le \frac{2}{2+\lambda }\);

\(\frac{x}{y+\lambda }= \frac{2}{2+\lambda }\) si y sólo si \(x=y=2\).

De \(0\le x\le y\), se deduce que \(\frac{x}{y+\lambda } \le \frac{y}{y+\lambda }\). Esto, junto con \(0\le y\le 2\), implica que \(\frac{y}{y+\lambda }\le \frac{2}{2+\lambda }\).

Se deduce directamente de la prueba de (1).

\(\cuadrado \)

\(0\y d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda)}(\alpha, \beta) \y 1\).

Tenga en cuenta que \(0\and |\mu _{\alpha }-\mu _{\beta }|+|\nu _{\alpha }-\nu _{\beta }| \and \mu _{\alpha }+\nu _{\alpha }+\in _{\beta }+\nu _{\beta }\y 2\). Según el Lema 3.1, se deduce que \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )= \frac{|\mu _{\alpha }-\mu _ ; {\beta }|+|\nu _{\alpha }-\nu _{\beta }|}{\mu _{\alpha }+\nu _{\alpha }+\mu _{\beta }+ \ if _{\beta}+\lambda} \cdot \frac{2+\lambda}{2}\le \frac{2}{2+\lambda} \cdot \frac{2+\lambda}{2} = 1\). \(\cuadrado\)

\(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )= d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\beta , \alfa )\).

Se deduce directamente de la ecuación. (4). \(\cuadrado \)

\(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )=0\) si y solo si \(\alpha =\beta \).

Tenga en cuenta que \(\lambda >0\), y por la ecuación. (4), se deduce que \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )=0\) si y sólo si \(|\mu _{\ alfa }-\mu _{\beta }|+|\nu _{\alpha }-\nu _{\beta }|=0\) si y sólo si \(\mu _{\alpha }=\mu _ {\beta }\) y \(\nu _{\alpha }=\nu _{\beta }\). \(\cuadrado \)

\(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )=1\) si y sólo si {\(\alpha =\langle 0, 1 \rangle \) y \(\beta =\langle 1, 0 \rangle \)}, o {\(\alpha =\langle 1, 0 \rangle \) y \(\beta =\langle 0, 1 \rangle \)}.

Suficiencia. Por cálculo directo y la ecuación. (4), se deduce que \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\langle 0, 1\rangle , \langle 1, 0\rangle ) =d_{\ textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\langle 1, 0\rangle , \langle 0, 1\rangle )=1\).

Necesidad. Por el Lema 3.1 (2), se deduce que \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )=1\) si y solo si \(|\mu _{\alpha }-\mu _{\beta }|+|\nu _{\alpha }-\nu _{\beta }|=2\) lo que implica que \(|\mu _{\alpha }-\ mu _{\beta }|=1\) y \(|\nu _{\alpha }-\nu _{\beta }|=1\). Y así (\(\alpha =\langle 0, 1 \rangle \) y \(\beta =\langle 1, 0 \rangle \)) o (\(\alpha =\langle 1, 0 \rangle \) y \(\beta =\langle 0, 1 \rangle \)). \(\cuadrado \)

Sea \(\alpha \), \(\beta \), \(\gamma \in \Theta \).

Si \(\alpha \subset \beta \subset \gamma \), entonces \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma ) \ge d_{_ \textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )\) y \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma )\ge d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\beta , \gamma )\).

Si \(\alpha \subsetneqq \beta \subsetneqq \gamma \), entonces \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma )> d_{\ textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )\) y \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma ) > d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\beta , \gamma )\).

Arreglar un IFV \(\alpha =\langle \mu _{\alpha }, \nu _{\alpha } \rangle \in \Theta \). Para cualquier \(\tilde{\alpha }=\langle \mu , \nu \rangle \in \Theta \) con \(\tilde{\alpha }\supset \alpha \), defina una función

Por cálculo directo tenemos

y

Esto, junto con \(\alpha\subset\beta\subset\gamma\), es decir, \(\mu_{\alpha}\and \mu_{\beta}\and \mu_{\gamma}\) y \( \nu _{\alpha} \ge \nu _{\beta} \ge \nu _{\gamma}\), implica que \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\ lambda )} (\alpha , \beta )=\zeta (\mu _{\beta }, \nu _{\beta }) \y \zeta (\mu _{\gamma }, \nu _{\beta } ) \le \zeta (\mu _{\gamma }, \nu _{\gamma }) =d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma )\) . . . . De manera similar, se puede verificar que \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma ) \ge d_{\textrm{pd}}}^{( \lambda )}(\beta , \gamma )\).

Supongamos que, por el contrario, \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma ) \ngtr d_{\textrm{pd}}}^{( \lambda )}(\alpha , \beta )\) o \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma ) \ngtr d_{\textrm{ pd}}}^{(\lambda )}(\beta , \gamma )\). Sin pérdida de generalidad, supongamos que \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma ) \ngtr d_{\textrm{pd}}}^{( \lambda )}(\alpha , \beta )\). Esto, junto con (1), implica que \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma ) = d_{\textrm{pd}}}^ {(\lambda )}(\alpha , \beta )\). De \(\beta \subsetneqq \gamma \), se deduce que (\(\mu _{\beta }<\mu _{\gamma }\) y \(\nu _{\beta }\ge \nu _ {\gamma }\)) o (\(\mu _{\beta }\le \mu _{\gamma }\) y \(\nu _{\beta }> \nu _{\gamma }\)) . A continuación, consideramos los siguientes dos casos: 2-1) Si \(\mu _{\beta }<\mu _{\gamma }\) y \(\nu _{\beta }\ge \nu _{\ gamma }\), luego, por las Ecs. (5) y (6), tenemos \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )=\zeta (\mu _{\beta }, \ nu _{\beta }) <\zeta (\mu _{\gamma }, \nu _{\beta })\le \zeta (\mu _{\gamma }, \nu _{\gamma }) =d_ {_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma )\), que contradice con \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )} (\alpha , \gamma ) = d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )\). 2-2) Si \(\mu _{\beta }\le \mu _{\gamma }\) y \(\nu _{\beta }> \nu _{\gamma }\), entonces, por ecuaciones . (5) y (6), tenemos \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )=\zeta (\mu _{\beta }, \ nu _{\beta }) <\zeta (\mu _{\beta }, \nu _{\gamma })\le \zeta (\mu _{\gamma }, \nu _{\gamma }) =d_ {_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma )\), que contradice con \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )} (\alpha , \gamma ) = d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )\). Por lo tanto, \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma )> d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\ alfa , \beta )\) y \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \gamma )> d_{\textrm{pd}}}^{( \lambda )}(\beta , \gamma )\).

\(\cuadrado \)

Con base en la distancia paramétrica definida \(d_{\textrm{pd}}^{(\lambda )}\), podemos definir una medida de similitud \(\textbf{S}_{\textrm{ps}}(\alpha , \beta )\) en \(\Theta \) de la siguiente manera: para \(\alpha =\langle \mu _{\alpha }, \nu _{\alpha }\rangle \) y \(\beta = \ langle \mu _{\beta }, \nu _{\beta }\rangle \in \Theta \),

Según las Proposiciones 3.1 y 3.5, tenemos los siguientes resultados.

La función \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}\) definida por la ecuación. (4) es una medida de distancia estricta en \(\Theta \).

La función \(\textbf{S}_{_{\textrm{ps}}}(\alpha , \beta )\) definida por la ecuación. (7) es una medida de similitud estricta en \(\Theta \).

De manera similar, podemos definir una nueva medida E en \(\Theta \) basada en la distancia paramétrica \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}\) de la siguiente manera:

Sea \(\lambda >0\). La medida E definida por la ecuación. (8) es una entropía en \(\Theta \).

(E1), (E2) y (E3) se derivan directamente de las Proposiciones 3.3, 3.4 y la Ec. (4), respectivamente.

(E4) Para \(\alpha \), \(\beta \in \Theta \), considere los dos casos siguientes:

(E4-1) Si \(\mu _{\alpha }\le \mu _{\beta } \le \nu _{\beta } \le \nu _{\alpha }\), entonces \(\alpha \subset \beta \subset \beta ^{\complement } \subset \alpha ^{\complement }\). Esto, junto con la Proposición 3.5, implica que \(E(\alpha )= 1-d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \alpha ^{\complement }) \ le 1-d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta ^{\complement }) \le 1-d_{\textrm{pd}}}^{ (\lambda )}(\beta , \beta ^{\complemento }) =E(\beta )\);

(E4-2) Si \(\mu _{\alpha }\ge \mu _{\beta } \ge \nu _{\beta } \ge \nu _{\alpha }\), entonces \(\alpha ^{\complement } \subset \beta ^{\complement } \subset \beta \subset \alpha \). Esto, junto con la Proposición 3.5, implica que \(E(\alpha )= 1-d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \alpha ^{\complement }) \ le 1-d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta ^{\complement }) \le 1-d_{\textrm{pd}}}^{ (\lambda )}(\beta , \beta ^{\complemento }) =E(\beta )\). \(\cuadrado \)

La Figura 1 muestra las gráficas de la medida de entropía E de la ecuación. (8) para \(\lambda =0,02, 0,04, 0,06, 0,08, 0,1\).

Medida de entropía E para diferentes valores de \(\lambda \).

Mahanta y Panda38 afirmaron que el IFDisM \(d_{_{\textrm{MP}}}\) puede manejar adecuadamente la información IF que tiene una alta incertidumbre, es decir, que tiene valores bajos de grados de membresía y no membresía. Para cerrar esta sección, se muestra que nuestra distancia paramétrica propuesta \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}\) puede distinguir efectivamente diferentes IFV con alta vacilación.

Fije \(\lambda >0\) y proporcione dos IFV diferentes \(\alpha =\langle \mu _{\alpha }, \nu _{\alpha }\rangle \) y \(\beta = \langle \mu _{\beta }, \nu _{\beta }\rangle \) con \(\mu _{\alpha }+\nu _{\alpha }\le \frac{\lambda }{2}\) y \ (\mu _{\beta } +\nu _{\beta }\le \frac{\lambda }{2}\). Mediante el teorema del valor medio diferencial, se puede verificar que

Si \(\mu _{\beta }\ge \mu _{\alpha }\) y \(\nu _{\beta }\ge \nu _{\alpha }\), entonces existen \(\xi _1\in [\mu _{\alpha }, \mu _{\beta }]\) y \(\eta _1\in [\nu _{\alpha }, \nu _{\beta }]\) tales que \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )=\frac{2\mu _{\alpha }+2\nu _{\alpha }+ \lambda }{(\mu _{\alpha }+\xi _1+\nu _{\alpha }+\eta _1+\lambda )^{2}}\cdot \frac{2+\lambda }{2}\cdot (\mu _{\beta }-\mu _{\alpha })+\frac{2\mu _{\alpha }+2\nu _{\alpha }+\lambda }{(\mu _{\alpha }+\xi _1+\nu _{\alpha }+\eta _1+\lambda )^{2}}\cdot \frac{2+\lambda }{2} \cdot (\nu _{\beta }-\nu _{\alpha })\ge \frac{\lambda }{(2\lambda )^2}\cdot \frac{2+\lambda }{2} \cdot ((\mu _{\beta }-\mu _{\alpha })+(\nu _{\beta }-\nu _{\alpha })) \ge \frac{1}{4\lambda }\cdot (|\mu _{\beta }-\ en _{\alpha }|+|\nu _{\beta }-\nu _{\alpha }|)\);

Si \(\mu _{\alpha }\ge \mu _{\beta }\) y \(\nu _{\alpha }\ge \nu _{\beta }\), de manera similar a (i), Se deduce que existen \(\xi _2\in [\mu _{\beta }, \mu _{\alpha }]\) y \(\eta _2\in [\nu _{\beta }, \nu _ {\alpha }]\) tal que \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )\ge \frac{1}{4\lambda } \cdot (|\mu _{\beta }-\mu _{\alpha }|+|\nu _{\beta }-\nu _{\alpha }|)\).

Si \(\mu _{\beta }\ge \mu _{\alpha }\) y \(\nu _{\beta }\y \nu _{\alpha }\), entonces existe \(\xi _3\in [\mu _{\alpha }, \mu _{\beta }]\) y \(\eta _3\in [\nu _{\beta }, \nu _{\alpha }]\) tales que \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta )=\frac{2\mu _{\alpha }+2\eta _3+\lambda }{( \mu _{\alpha }+\xi _3+\nu _{\alpha }+\eta _3+\lambda )^{2}}\cdot \frac{2+\lambda }{2} \cdot (\mu _{ \beta }-\mu _{\alpha })+\frac{-2\xi _3-2\nu _{\alpha }-\lambda }{(\mu _{\alpha }+\xi _3+\nu _ {\alpha }+\eta _3+\lambda )^{2}}\cdot \frac{2+\lambda }{2} \cdot (\nu _{\beta }-\nu _{\alpha })=\ frac{2\mu _{\alpha }+2\eta _3+\lambda }{(\mu _{\alpha }+\xi _3+\nu _{\alpha }+\eta _3+\lambda )^{2}} \cdot \frac{2+\lambda }{2} \cdot (\mu _{\beta }-\mu _{\alpha })+\frac{2\xi _3+2\nu _{\alpha }+ \lambda }{(\mu _{\alpha }+\xi _3+\nu _{\alpha }+\eta _3+\lambda )^{2}}\cdot \frac{2+\lambda }{2} \cdot (\nu _{\alpha}-\nu _{\beta})\ge \frac{\lambda }{(2\lambda )^2}\cdot \frac{2+\lambda }{2} \cdot ( (\mu _{\beta }-\mu _{\alpha })+(\nu _{\nalpha }-\nu _{\beta })) \ge \frac{1}{4\lambda }\cdot (|\mu _{\beta }-\mu _{\alpha }|+|\nu _{\beta }-\nu _{\alpha }|)\);

Si \(\mu _{\beta }\le \mu _{\alpha }\) y \(\nu _{\beta }\ge \nu _{\alpha }\), de manera similar a (iii), Se deduce que existen \(\xi _4\in [\mu _{\beta }, \mu _{\alpha }]\) y \(\eta _4\in [\nu _{\alpha }, \nu _ {\beta }]\) tal que \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}(\alpha , \beta ) \ge \frac{1}{4\lambda }\cdot (|\mu _{\beta }-\mu _{\alpha }|+|\nu _{\beta }-\nu _{\alpha }|)\).

Según el análisis teórico anterior y también la presentación en la Fig. 1, podemos encontrar que, cuando el parámetro \(\lambda \) es suficientemente pequeño, la distancia \(d_{\textrm{pd}}}^{ (\lambda )}\) puede alcanzar números muy grandes y es sensible a pequeñas perturbaciones, incluso si los grados de membresía y no membresía son muy pequeños. Por tanto, cuanto menor sea el parámetro \(\lambda \), más fuerte será la sensibilidad. Por lo tanto, la distancia paramétrica propuesta \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}\) puede distinguir mejor los IFV con pequeños grados de membresía y no membresía. Y así, a lo largo de este artículo, los valores del parámetro \(\lambda \) se eligen más pequeños. Mientras tanto, según la Ec. (4), está claro que el valor de \(d_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}\) estará suficientemente cerca de \(\frac{1}{2} (| \mu _{\alpha }-\mu _{\beta }|+|\nu _{\alpha }-\nu _{\beta }|)\), cuando el parámetro \(\lambda \) es suficientemente mayor . En este caso, la medida de distancia \(d_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}\) no puede distinguir diferentes IFS con alta vacilación, cuando el parámetro \(\lambda \) es suficientemente alto. En este sentido, los valores del parámetro \(\lambda \) no se elegirán demasiado altos, sino mejor con valores más pequeños.

Siguiendo la función recién definida \(\textbf{d}_{_{\textrm{pd}}}^{(\lambda )}\) en \(\Theta \) en “Una nueva distancia paramétrica en \(\Theta \)”, ahora proponemos los nuevos IFDisM (distancia), IFSisM (similitud) e IFEM (entropía) para los IFS de la siguiente manera. Sean \(\Xi =\{\vartheta _1, \vartheta _2, \ldots , \vartheta _{\ell }\}\) y \(\lambda >0\). Defina la función \(\textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}: \textrm{IFS}(\Xi )\times \textrm{IFS}(\Xi ) \ longrightarrow \mathbb {R}^{+}\) para \(I_1=\{\langle \mu _{I_1}(\vartheta _i), \nu _{I_1}(\vartheta _i) \rangle \mid \vartheta _i\in \Xi \}\) y \(I_2=\{\langle \mu _{I_2}(\vartheta _i), \nu _{I_2}(\vartheta _i) \rangle \mid \vartheta _i\in \Xi \}\en \textrm{IFS}(\Xi )\),

donde \(\omega =(\omega _1, \omega _2, \ldots , \omega _n)^{\top }\) es el vector de peso de \(\vartheta _{i}\) (\(i=1 , 2, \ldots , \ell \)) con \(\omega _i\in (0, 1]\) y \(\sum _{i=1}^{\ell }\omega _i=1\).

Con base en el IFDisM \(\textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}(I_1, I_2)\) definido para IFS, podemos definir una nueva medida de similitud \(\ textbf{S}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}(I_1, I_2)\) para IFS de la siguiente manera: para \(I_1=\{\langle \mu _{I_1}( \vartheta _i), \nu _{I_1}(\vartheta _i) \rangle \mid \vartheta _i\in \Xi \}\) y \(I_2=\{\langle \mu _{I_2}(\vartheta _i ), \nu _{I_2}(\vartheta _i) \rangle \mid \vartheta _i\in \Xi \}\in \textrm{IFS}(\Xi )\),

De manera similar, se puede definir una nueva medida de entropía para IFS de acuerdo con el IFDisM \(\textbf{d}_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}(I_1, I_2)\) definido de la siguiente manera :

Según los teoremas 3.1 y 3.2, podemos obtener directamente los siguientes teoremas.

La función \(\textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}\) definida por la ecuación. (9) es un IFDisM estricto en \(\textrm{IFS}(\Xi )\).

La función \(\textbf{S}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}(I_1, I_2)\) definida por la ecuación. (10) es un IFSimM estricto en \(\textrm{IFS}(\Xi )\).

Sea \(\lambda >0\). La medida E definida por la ecuación. (11) es una medida de entropía en \(\textrm{IFS}(\Xi )\).

Esta subsección ilustra que nuestra medida de distancia propuesta puede superar por completo los inconvenientes de Mahanta y Panda mencionados en "Los inconvenientes de la medida de distancia de Mahanta y Panda38".

(Continuación del ejemplo 3.1) Tome los IFS \(I_1\) en \(\Xi =\{\vartheta \}\) como se indica en el Ejemplo 3.1. Para cualquier \(I_2=\left\{ \frac{\langle \mu , \nu \rangle }{\vartheta }\right\} \in \textrm{IFS}(\Xi )\) con \(I_2\ne I_1\), por cálculo directo y la Ec. (9), tenemos

Al variar IFS \(I_2\) dentro de \(\textrm{IFS}(\Xi )\), la Fig. 2 muestra la tendencia cambiante de las distancias entre \(I_1\) y \(I_2\) usando nuestra fórmula propuesta ( 9) para \(\lambda =0,02, 0,04, 0,06, 0,08, 0,1\). Observando el ejemplo 3.1, la proposición 3.4 y la figura 2, se revela que la distancia \(\textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}(I_1, I_2)\ ) entre \(I_1\) y \(I_2\) es siempre menor que 1, y cambia con el cambio de \(I__{2}\), que son razonables y significativamente mejores que el resultado obtenido por la distancia de Mahanta y Panda medida en el ejemplo 3.1.

Medida de distancia \(\textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}(I_1, I_2)\) en el ejemplo 3.3 para diferentes valores de \(\lambda \).

(Continuación del ejemplo 3.2) Tome los IFS \(I_1^{\prime }\) y \(I_{2}^{\prime }\) en \(\Xi =\{\vartheta \}\) como se indica en Ejemplo 3.2. Por cálculo directo y la ecuación. (9), tenemos que, para \(0<\mu , \nu \le 1\), \( \textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}( I_1^{\prime }, I_2^{\prime })= \frac{|\mu -0|+|0-\nu |}{\mu +0+0+\nu +\lambda }\cdot \frac {2+\lambda }{2} =\frac{\mu +\nu }{\mu +\nu +\lambda }\cdot \frac{2+\lambda }{2}. \) Variando \(\ mu \) y \(\nu \) de 0 a 1, la Fig. 3 muestra la tendencia cambiante de las distancias entre \(I_1^{\prime }\) y \(I_2^{\prime }\) usando nuestra propuesta fórmula (9) para \(\lambda =0,02, 0,04, 0,06, 0,08, 0,1\). Observando el ejemplo 3.2, la proposición 3.4 y la figura 3, se revela que la distancia \(\textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}(I_1^{\prime }, I_2^{\prime })\) entre \(I_1^{\prime }\) y \(I_2^{\prime }\) siempre es menor que 1 excepto \(\mu =\nu =1\ ), y cambios con el cambio de \(I_{1}^{\prime }\) y \(I_{2}^{\prime }\), que son razonables y significativamente mejores que el resultado obtenido por Mahanta y Medida de distancia de Panda en el ejemplo 3.2.

Medida de distancia \(\textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}(I_1^{\prime }, I_2^{\prime })\) en el ejemplo 3.4 para diferentes valores de \(\lambda \).

(32Aplicación 2, 14Ejemplo 4.3) Considere un problema de clasificación de patrones con tres clases y tres atributos \({\mathfrak {A}}=\{x_1, x_2, x_3\}\), descrito por tres patrones \({\mathfrak { P}}=\{P_1, P_2, P_3\}\) y una muestra de prueba \(S_1\) expresada por los IFS enumerados en la Tabla 1.

Tomando el vector de peso \(\omega \) de tres atributos como \(\omega =(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})^{ \top }\), basado en el principio del grado máximo de SimMs, los resultados de clasificación de patrones obtenidos usando diferentes medidas de distancia se enumeran en la Tabla 2 y la Fig. 4. Observando en la Tabla 2 y la Fig. 4, sabemos que el La muestra de prueba \(S_{1}\) se clasifica según el patrón \(P_3\) mediante nuestro DisM propuesto con \(\lambda =0.14, 0.16, 0.18\), lo cual es consistente con los resultados obtenidos por los DisMs \( d_{\textrm{SK}}}^{\textrm{E}}\), \(d_{\textrm{G}}}\), \(d_{\textrm{W1}} }\), \(d_{_{\textrm{W2}}}\), \(d_{\textrm{P}}}\), \(d_{\textrm{Y}}}\ ), \(d_{\textrm{SW}}}\), \(d_{\textrm{SM}}}\), \(d_{\textrm{L}}}\), \(d_{\textrm{YC}}}\), y \(d_{\widetilde{\chi }}\); Sin embargo, los métodos que utilizan DisMs \(d_{\textrm{W2}}}\), \(d_{\textrm{H}}}^{\textrm{T}}\), \(d_{ _{\textrm{H}}}^{\textrm{R}}\), \(d_{\textrm{H}}}^{\textrm{L}}\), \(d_{_{1} \textrm{H}}}^{\textrm{KD}}\), \(d_{\textrm{H}}}^{\textrm{M}}\), \(d_{\textrm) {H}}}^{\textrm{LA}}\), \(d_{_{\textrm{H}}}^{\textrm{G}}\), \(d_{_{\textrm{SW) }}}\), y \(d_{\textrm{MP}}}\) no pueden determinar a qué patrón pertenece la muestra de prueba \(S_1\). Mencionamos que los cálculos para \(d_{_{\textrm{MP}}}\) de Mahanta y Panda38 tienen \(1-d_{_{\textrm{MP}}}(P_1, S_1)=0.8354\) y \(1-d_{_{\textrm{MP}}}(P_3, S_1)=0.8383\). Esto significa que \(1-d_{_{\textrm{MP}}}(P_3, S_1)>1-d_{\textrm{MP}}}(P_1, S_1)\), por lo que es capaz para distinguir entre los patrones, pero sólo un poco. Sin embargo, si retenemos 2 dígitos después del punto decimal, tenemos \(1-d_{_{\textrm{MP}}}(P_3, S_1)=0.84=1-d_{_{\textrm{MP}}} (P_1, S_1)\), por lo que \(d_{_{\textrm{MP}}}\) de Mahanta y Panda38 no pueden distinguir entre los patrones.

Resultados de comparación de diferentes medidas de similitud en el Ejemplo 4.1.

Supongamos que existen n alternativas \({A}_{i}\) (\(i=1, 2, \ldots , n\)) evaluadas con respecto a m atributos \({\mathfrak {A}}_j\ ) (\(j=1, 2, \ldots , m\)). Los conjuntos de alternativas y atributos se denotan por \(A=\{A_1, A_2, \ldots , A_n\}\) y \({\mathfrak {A}}=\{{\mathfrak {A}}_1, {\mathfrak {A}}_2, \ldots , {\mathfrak {A}}_m\}\), respectivamente. La calificación (o evaluación) de cada alternativa \(A_i\in A\) (\(i=1, 2, \ldots , n\)) en cada atributo \(o_j\) (\(j=1, 2, \ldots , m\)) se expresa con un IFS \(r_{ij}= \left\{ \frac{\langle \mu _{ij}, \nu _{ij}\rangle }{(A_i, {\ mathfrak {A}}_j)}\right\} \), denotado por \(r_{ij}=\langle \mu _{ij}, \nu _{ij}\rangle \) para abreviar, donde \(\ mu _{ij}\in [0, 1]\) y \(\nu _{ij}\in [0, 1]\) son respectivamente el grado de satisfacción (o membresía) y el grado de insatisfacción (o no membresía) de la alternativa \(A_{i}\in A\) sobre el atributo \(o_{j}\) que satisface la condición \(0\le \mu _{ij}+\nu _{ij}\le 1\ ). Un problema de toma de decisiones de atributos múltiples (MADM) con IFS se expresa en forma de matriz como se muestra en la Tabla 3.

Para el problema MADM con IFS, utilizando nuestra propuesta IFDisM \(\textbf{d}_{_{\textrm{New}}}^{(\lambda )}\) de la ecuación. (9), construimos un nuevo método IF TOPSIS de la siguiente manera:

Paso 1: (Construir la matriz de decisión) Suponiendo que quien toma la decisión dio la calificación (o evaluación) de cada alternativa \(A_i\in A\) (\(i=1, 2, \ldots , n\)) en cada atributo \({\mathfrak {A}}_j\) (\(j=1, 2, \ldots , m\)) en forma de IFN \(r_{ij}=\langle \mu _{ij} , \eta _{ij}\rangle \), construya una matriz de decisión SI \(R=(r_{ij})_{m\times n}\) como se muestra en la Tabla 3.

Paso 2: (Normalizar la matriz de decisión) Transformar la matriz de decisión IF \(R=(r_{ij})_{m\times n}\) a la matriz de decisión IF normalizada \(\overline{R}=(\bar {r}_{ij})_{m\times n}=(\langle \bar{\mu }_{ij}, \bar{\nu }_{ij}\rangle )_{m\times n} \) como sigue:

donde \(r_{ij}^{\complement }\) es el complemento de \(\gamma _{ij}\).

Paso 3: (Determinar los puntos ideales positivos y negativos) Determinar el punto ideal positivo SI \({\mathfrak {I}}^{+}=(\langle \mu ^{+}_{1}, \nu ^{+}_{1}\rangle , \langle \mu ^{+}_{2}, \nu ^{+}_{2}\rangle ,\) \(\ldots , \langle \mu ^{ +}_{m}, \nu ^{+}_{m}\rangle )^{\top }\) y SI punto ideal negativo \({\mathfrak {I}}^{-}=(\langle \mu ^{-}_{1}, \nu ^{-}_{1}\rangle , \langle \mu ^{-}_{2}, \nu ^{-}_{2}\rangle , \ldots , \langle \mu ^{-}_{m}, \nu ^{-}_{m}\rangle )^{\top }\) de la siguiente manera:

Paso 4: (Calcule las medidas de similitud ponderadas) Calcule las medidas de similitud ponderadas entre las alternativas \(A_i\) (\(i=1,2, \ldots ,n\)) y el punto ideal positivo IF \({\ mathfrak {I}}^+\), y entre las alternativas \(A_i\) (\(i=1,2, \ldots ,n\)) y el punto ideal negativo IF \({\mathfrak {I} }^{-}\), utilizando las siguientes fórmulas:

y

Paso 5: (Calcular los grados de similitud relativa) Calcular los grados de similitud relativa \({\mathcal {C}}_{i}\) de las alternativas \(A_i\) (\(i=1,2, \ldots , n\)) al punto ideal positivo IF \({\mathfrak {I}}^+\) usando la siguiente fórmula:

Paso 6: (Clasificar la alternativa) Clasificar las alternativas \(A_i\) (\(i=1,2, \ldots ,n\)) según el orden no creciente de los grados de cercanía relativa \({\mathcal {C} }_{i}\) y seleccione la alternativa más deseable.

A continuación hacemos un análisis comparativo y de sensibilidad de nuestro método propuesto con el método propuesto por Mahanta y Panda38.

(38Ejemplo 4.3) Después del brote de la enfermedad COVID-19, la demanda de mascarillas ha aumentado rápidamente. Hay seis tipos comunes de mascarillas en el mercado: \({\mathscr {M}}_1\)—mascarillas médicas desechables, \({\mathscr {M}}_2\)—mascarillas médico-quirúrgicas, \( {\mathscr {M}}_3\)—respiradores de partículas (N95), \({\mathscr {M}}_4\)—máscaras no médicas comunes, \({\mathscr {M}}_5\)—máscaras de protección médica , y \({\mathscr {M}}_6\): máscaras antigás. Un ciudadano quiere comprar una máscara adecuada entre los seis tipos de máscaras anteriores considerando los siguientes cuatro atributos: \({\mathfrak {A}}_1\)—tasa de fuga, \({\mathfrak {A}}_2\) —reciclabilidad, \({\mathfrak {A}}_3\)—calidad de la materia prima, \({\mathfrak {A}}_4\)—capacidad de filtración.

Paso 1: (Construir la matriz de decisión) A través del estudio de mercado, se evaluaron las evaluaciones de cada tipo de mascarilla \({\mathscr {M}}_i\) (\(i=1, 2, 3, 4, 5, 6\ )) en cada atributo \({\mathfrak {A}}_j\) (\(j=1, 2, 3, 4\)) en forma de IFN se resumen en la Tabla 4.

Paso 2: (Normalizar la matriz de decisión) Porque \({\mathfrak {A}}_1\) es un atributo de costo y \({\mathfrak {A}}_2\)–\({\mathfrak {A}}_4 \) son los atributos de beneficio, la matriz de decisión IF normalizada se forma como se muestra en la Tabla 5.

Paso 3: (Determine los puntos ideales positivos y negativos) El punto ideal positivo SI es

y el punto ideal negativo IF es

Pasos 4 y 5: (Calcule los grados de similitud relativa) Tome el vector de peso \(\omega =(0,25, 0,25, 0,25, 0,25)^{\top }\). Para \(\lambda =0.02\), 0.04, 0.06, 0.08, 0.1, calcule los grados de similitud relativa \({\mathcal {C}}_{i}\) de las alternativas \({\mathscr {M}} _i\) (\(i=1, 2, 3, 4, 5, 6\)) al punto ideal positivo IF \({\mathfrak {I}}^+\) por las ecuaciones. (12), (13) y (14). Los resultados se presentan en la Tabla 6.

Paso 6: (Clasifique la alternativa) Para cualquier \(\lambda \in \{0.02, 0.04, 0.06, 0.08, 0.1\}\), porque siempre se cumple \({\mathcal {C}}_3> {\mathcal {C}}_6> {\mathcal {C}}_4> {\mathcal {C}}_5> {\mathcal {C}}_1> {\mathcal {C}}_2\), la clasificación de estos tipos de máscaras \({\mathscr {M}}_i\) (\(i=1, 2, 3, 4, 5, 6\)) es:

Por lo tanto, el tipo de mascarilla más deseable es \({\mathscr {M}}_3\): respiradores para partículas (N95).

Mahanta y Panda38, en el ejemplo 4.3, mostraron que el tipo de mascarilla más deseable es \({\mathscr {M}}_1\), mascarillas médicas desechables, que es diferente de nuestro resultado. La razón principal de esto es la falta del paso de normalización (Paso 2) en el método TOPSIS de Mahanta y Panda38. Esto puede generar resultados contrarios a la intuición, porque cuanto menor sea la puntuación del atributo de costo, mejor será el atributo de este atributo. Para ilustrar la efectividad del método TOPSIS propuesto, damos una comparación de los órdenes de preferencia de las alternativas en el Ejemplo 4.2 para diferentes métodos TOPSIS de la siguiente manera.

En la Tabla 7, que muestra una comparación de los órdenes de preferencia de las alternativas en el Ejemplo 4.2 para diferentes métodos TOPSIS, observamos que aunque nuestro resultado de clasificación es diferente de los obtenidos por el método TOPSIS en25,35,43, el tipo de máscara más deseable es siempre \({\mathscr {M}}_3\)–respiradores de partículas (N95). Tenga en cuenta que las puntuaciones de \({\mathscr {M}}_3\) en los atributos \({\mathfrak {A}}_2\), \({\mathfrak {A}}_3\) y \({ \mathfrak {A}}_4\) (según la Tabla 5) son mucho mayores que los de \({\mathscr {M}}_1\). Esto da una razón para apoyar la conclusión de que \({\mathscr {M}}_{3}\) es mejor que \({\mathscr {M}}_1\). Por tanto, nuestro método es más razonable que el de Mahanta y Panda38.

Estudiar la tendencia cambiante de los grados de similitud relativa y las clasificaciones para \({\mathscr {M}}_1\), \({\mathscr {M}}_2\), \(\ldots \), \({ \mathscr {M}}_6\) con la variación del parámetro \(\lambda \) de 0 a 1, la Fig. 5 se utiliza como ilustración. Al observar la Fig. 5, se revela que las clasificaciones para \({\mathscr {M}}_1\), \({\mathscr {M}}_2\), \(\ldots \), \({\ mathscr {M}}_6\) permanecen sin cambios con la variación del parámetro \(\lambda \) de 0 a 1. Como resultado, N95 es siempre el tipo de marcas más deseable.

Grados de similitud relativa para diferentes valores de \(\lambda \) para \(\omega =(0,25, 0,25, 0,25, 0,25)^{\top }\).

En el análisis anterior, asumimos que cuatro atributos \({\mathfrak {A}}_1\)–\({\mathfrak {A}}_4\) tienen el mismo peso. Para estudiar el impacto de los pesos de los atributos en el proceso de decisión, se utiliza la Fig. 6 a modo de ilustración. Observando la Fig. 6, se revela que aunque el tipo de máscara más deseable es siempre \({\mathscr {M}}_3\)–respiradores de partículas (N95), las clasificaciones de \({\mathscr {M}}_1 \) y \({\mathscr {M}}_2\) pueden cambiar al cambiar los pesos de los atributos y el parámetro \(\lambda \).

(38Ejemplo 4.4,14) Considere un problema de diagnóstico médico para 4 pacientes \(\mathbb {P}=\{\mathbb {P}_1, \mathbb {P}_2, \mathbb {P}_3, \mathbb {P} _4\}\) con los síntomas \({\mathfrak {S}}=\{\text {Temperatura, dolor de cabeza, dolor de estómago, tos, dolor de pecho}\}\) representados mediante el uso de IFN, como se enumeran en la Tabla 8. Las características de los síntomas para el diagnóstico \({\mathfrak {D}}=\{\text {Fiebre viral, Malaria, Tifoidea, Problema estomacal, Problema torácico}\}\) se representan mediante el uso de IFN, como se muestra en la Tabla 9.

Grados de similitud relativa para diferentes valores de \(\lambda \) y vectores de peso \(\omega \).

Tomando el vector de peso \(\omega \) de los 5 atributos de síntomas como \(\omega =(0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2)^{\top }\), basado en el principio del grado máximo de SimMs, los resultados de diagnóstico obtenidos mediante el uso de diferentes SimMs se enumeran en la Tabla 10 con \(\lambda =0.02\).

Estudiar la tendencia cambiante de los resultados diagnósticos para diferentes pacientes \(\mathbb {P}_1\), \(\mathbb {P}_2\), \(\mathbb {P}_3\), \(\mathbb { P}_4\) con la variación del parámetro \(\lambda \) de 0 a 1, se utiliza la Fig. 7 como ilustración. Observando la Fig. 7, se revela que cuando el parámetro \(\lambda \) cambia de 0 a 1, los resultados del diagnóstico para \(\mathbb {P}_1\), \(\mathbb {P}_2\) , \(\mathbb {P}_3\) y \(\mathbb {P}_4\) son perfectamente consistentes con el resultado para \(\lambda =0.02\), es decir, \(\mathbb {P}_1\ ) sufre de 'Malaria', \(\mathbb {P}_2\) sufre de 'Problema de estómago', \(\mathbb {P}_3\) sufre de 'Tifoidea' y \(\mathbb {P}_4\ ) sufre de "fiebre viral".

Los resultados de diagnóstico de diferentes pacientes para diferentes \(\lambda \in [0, 1]\).

Para superar los dos inconvenientes del DisM38 de Mahanta y Panda mencionados en "Los inconvenientes de la medida de distancia de Mahanta y Panda38", proponemos un nuevo DisM paramétrico no lineal para IFS, que ha demostrado satisfacer la definición axiomática de un IFDisM estricto y distingue eficazmente diferentes IFS con alta vacilación cuando el parámetro es suficientemente pequeño. Además, demostramos que el SimM dual y la entropía inducida del DisM propuesto son una entropía IFSimM y IF estricta, respectivamente. Finalmente, para ilustrar la efectividad de nuestro método, aplicamos nuestra propuesta DisM/SimM a los siguientes tres problemas:

Considerando un problema de clasificación de patrones IF de 14, nuestro DisM propuesto puede determinar con precisión a qué patrón pertenece la muestra de prueba. El resultado de la prueba muestra que nuestro DisM propuesto es mejor que los DisM en 23,36,38,41;

Para abordar un problema de IF MADM en la toma de decisiones sobre la elección de una mascarilla antivirus adecuada para COVID-19, proponemos un método TOPSIS basado en nuestra propuesta de IFSimM estricto. El análisis comparativo muestra que la elección más deseable obtenida por nuestro método TOPSIS propuesto con la variación del parámetro \(\lambda \) de 0 a 1 es consistente con los resultados obtenidos por los métodos TOPSIS en25,35,43. El análisis comparativo también muestra que el método TOPSIS en38 no es razonable, porque no considera los atributos de costos para la normalización;

Utilizamos nuestro SimM propuesto para resolver un problema de diagnóstico médico IF. Nuestros resultados diagnósticos son consistentes con los resultados en15,38,44,46,47.

En el artículo, demostramos estos grados de similitud relativa para diferentes valores del parámetro \(\lambda \) y pesos \(\omega \) con la conclusión de que los resultados de clasificación en la aplicación MCDM pueden cambiar al cambiar los valores. del parámetro \(\lambda \) y pesos \(\omega \) de los atributos. Esta dependencia de parámetros se convierte en el inconveniente del método propuesto. Encontrar una mejor combinación del parámetro \(\lambda \) y el peso \(\omega \) en la aplicación MCDM se vuelve importante y será un tema de investigación adicional. En el futuro, ampliaremos aún más nuestros métodos constructivos de IFDisM, IFSimM e IFEM estrictos a conjuntos difusos pitagóricos, conjuntos difusos de ortopares de q-rung, conjuntos difusos T-esféricos y algunos otros conjuntos difusos con valores de intervalo.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo publicado.

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Este trabajo fue apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (Nos. 11601449 y 71771140), la Fundación Clave de Ciencias Naturales de Universidades en la Provincia de Guangdong (No. 2019KZDXM027), la Fundación de Ciencias Naturales de la Provincia de Sichuan (No. 2022NSFSC1821) y el Ministerio de Ciencia y Tecnología de Taiwán bajo la subvención MOST 111-2118-M-033-001.

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Xinxing Wu

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Huan Tang, Zhiyi Zhu y Lantian Liu

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Guanrong Chen

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Miin-Shen Yang

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XW, HT, ZZ y LL dan conceptualización. HT, LL, GC y MSY dan metodología. XW, HT y ZZ tienen análisis formal. XW, HT, ZZ y LL escriben el borrador original. XW, GC y MSY realizan revisión y edición. GC y MSY son supervisión. Todos los autores revisaron el manuscrito.

Correspondencia a Xinxing Wu o Miin-Shen Yang.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Wu, X., Tang, H., Zhu, Z. et al. Medidas estrictas no lineales de distancia y similitud para conjuntos difusos intuicionistas con aplicaciones a la clasificación de patrones y al diagnóstico médico. Informe científico 13, 13918 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40817-y

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Recibido: 03 de enero de 2023

Aceptado: 17 de agosto de 2023

Publicado: 25 de agosto de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40817-y

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